本文写于2025-02-25,被我扔上来当实验品了。 不过现在看来没什么意思，当时自己耐心真好品味真差(现在也是QAQ)…

从钟形曲线说起

通常形如下式的积分被称为（第一个/不正式的）高斯积分。它表征着正态分布钟形曲线的面积。

I=∫−∞+∞e−x2 dx=πI=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}

形如下式时也被称作欧拉-泊松积分
(对于称呼并无严格标准，笔者在本文中使用的一套称呼仅供参考)

I=∫0+∞e−x2 dx=π2I=\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

证明

  1. 双重积分[[未完成]]

“一般的高斯积分”

现在我们给出一般来说的高斯积分，这是稍微拓展之后的形式（严格来说可以是不定积分）

G(n)=∫−∞+∞xne−x2 dxG(n) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^n e^{-x^2} \, dx

使用分部积分法可以处理。我们先来考虑 G(1)G(1)

G(1)=∫−∞+∞xe−x2 dx=−12∫−∞+∞de−x2=−12e−x2∣−∞+∞=0G(1) = \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2} \, dx = -\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} d e^{-x^2} = -\frac{1}{2} e^{-x^2} \Big|^{+\infty}_{-\infty} = 0

并已知

G(0)=πG(0) = \sqrt{\pi}

对于 n>1n > 1，我们都有这样的递推式

G(n)=∫−∞+∞xn−1⋅xe−x2 dx=xn−1G(0)+n−12∫−∞+∞xn−2e−x2 dx=n−12G(n−2)\begin{aligned} G(n) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x^{n-1} \cdot x e^{-x^2} \, dx \\ &= x^{n-1} G(0) + \frac{n-1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} x^{n-2} e^{-x^2} \, dx \\ &= \frac{n-1}{2} G(n-2) \end{aligned}

那么我们可以得知任意的 G(n)G(n)，显然任意奇数 nn（奇函数）的定积分 G(n)=0G(n) = 0。
为了给出更加具有意义的公式，我们仅写出 G′(n)=∫0+∞xne−x2 dxG'(n) = \int_0^{+\infty} x^n e^{-x^2} \, dx。

G′(0)=π2G′(1)=12G′(n)={(n−1)!!2n+12, n is oddπ2⋅(n−1)!!2n+12, n is even\begin{aligned} G'(0) &= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\ G'(1) &= \frac{1}{2} \\ G'(n) &= \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{2^{\frac{n+1}{2}}} & \text{, n is odd} \\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{(n-1)!!}{2^{\frac{n+1}{2}}} & \text{, n is even} \end{cases} \end{aligned}

更加一般的情况

只需要局部细节的调整，用 λx\sqrt{\lambda} x 替代 xx，并在结果前面加上系数 1λn/2\frac{1}{\lambda^{n/2}}，
我们可以得到实际应用中更加广泛的形式

In(λ)=∫0+∞xne−λx2 dxI_n(\lambda) = \int_0^{+\infty} x^n e^{-\lambda x^2} \, dx

In+2(λ)=n+12λIn(λ)I0(λ)=12πλI1(λ)=12λIn(λ)={(n−1)!!(2λ)n+12, n is oddπ2⋅(n−1)!!(2λ)n+12, n is even\begin{aligned} I_{n+2}(\lambda) &= \frac{n+1}{2 \lambda} I_n(\lambda) \\ I_0(\lambda) &= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \\ I_1(\lambda) &= \frac{1}{2 \lambda} \\ I_n(\lambda) &= \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{(2 \lambda)^{\frac{n+1}{2}}} & \text{, n is odd} \\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{(n-1)!!}{(2 \lambda)^{\frac{n+1}{2}}} & \text{, n is even} \end{cases} \end{aligned}

附录：应用（为了证明它真的不是废物）

参考 高斯积分 - IcyChlorine’s Blog

  1. 麦克斯韦气体速率分布律

pM.B(v)=c⋅v2exp⁡(−mv22kBT)p_{M.B}(v) = c \cdot v^2 \exp\left(-\frac{m v^2}{2 k_B T}\right)

为了计算出前面的归一化系数 cc，就需要对后面的部分进行积分，相当于计算 n=2n=2 时的高斯积分。
在温度 TT 下，达到热平衡的理想气体中气体分子的「速率」会满足一定的「统计规律」。
麦克斯韦气体速率分布是指：气体分子的速率为 vv 的概率即为上述的 p(v)p(v)。

  1. 高斯分布

pGaussian(x)=12πσe−(x−μ)22σ2p_{Gaussian}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}

为了计算出前面的归一化系数 12πσ\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}，也需要对后面的部分进行积分，然后调整前面的系数使得概率密度函数在全空间的积分为 1。
这相当于计算 n=0n=0 时的高斯积分：

1=∫−∞+∞p(x) dx=Δ×∫−∞+∞e−(x−μ)22σ2 dx=Δ×2πσ1 = \int_{-\infty}^{+\infty} p(x) \, dx = \Delta \times \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \, dx = \Delta \times \sqrt{2 \pi} \sigma

⇒Δ=12πσ\Rightarrow \Delta = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}

外延: 不同的一般化

欸细心的小伙伴可能发现了，这个公式的形式和大名鼎鼎的 WALLIS 公式很像啊！[[WALLIS 公式及其应用]]
是的，结合欧拉公式，我们把 xx 拓展到复数域便可以直接推出点火公式。
不仅如此，我们还可以给出一个相当一般化形式的公式。

广义高斯积分

我们拓展到复数域，可以证明[[未完成]]

∫−∞+∞exp⁡(−ax2+bx) dx=πaexp⁡(b24a),a,b∈C\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-a x^2 + b x) \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left(\frac{b^2}{4 a}\right), \quad a,b \in \mathbb{C}

我们的证明可以分为 3 步：

  1. a,ba,b 都是实数时上式成立
  2. bb 是复数时 …